Контрольная Математические методы исследования экономики

Контрольная работа по дисциплине
«Математические методы исследования экономики»
Задача № 1
В таблице приведены данные об исполнении баланса. Используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный выпуск энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохранится на прежнем уровне.

Вариант 10
№ Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой продукт
Энергетическая 11 15 74 100
Машиностроение 10 5 85 100

Решение:
Введём некоторые обозначения: – общий (валовой) объём продукции i-й отрасли (i=1,2,…,n);

  • объём продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j=1,2,…,n);
  • объём конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.
    Так как валовой объём продукции любой i-й отрасли равен суммарному объёму продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

Эти уравнения называются соотношениями баланса .Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины имеют стоимостное выражение.

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.

Подставляя значения, имеем:
x1 = 100, x2 = 100, x11 = 11, x12 = 15, x21 = 10, x22 = 5,
y1 = 74, y2 = 85

По формуле

находим коэффициенты прямых затрат:

a11 = 0.11, a12 = 0.15, a21 = 0.1, a22 = 0.05

т.е. матрица прямых затрат
имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:
max{0.11+0.1;0.15+0.05} = max{0.21;0.2} = 0.2 < 1.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.
Теперь соотношения баланса примут вид:

Обозначим

, , ,

Где X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта, A – матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).
Тогда систему можно записать в матричном виде:

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.
Перепишем уравнение баланса в виде:

Если матрица невырожденная, т.е. то по
формуле )

Матрица называется матрицей полных затрат.

Найдём матрицу полных затрат

:

Так как по формуле

По условию вектор конечного продукта
Тогда получаем вектор валового выпуска:

Ответ: валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 175,4 усл. ед., а в машиностроительной – до 111,9 усл. ед.

Задача №2

В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса и предложения имеют вид:

  1. — спроса,
  • предложения,
  1. — спроса,
  • предложения,

где p – цена товара.
Найти:
1) Точку равновесия.
2) Эластичность спроса и предложения для равновесной цены.
3) Излишки производителя.

Решение (вариант 2):

  1. Определяем равновесную цену p0, при которой спрос равен предложению.

Отсюда p0=2. (Отрицательный корень отбрасываем, как не имеющий экономического смысла.)

  1. Находим эластичности спроса и предложения для равновесной цены.
    2.1. Находим производные q’(p) и s’(p): .

2.2. Получаем общие выражения для эластичностей спроса и предложения:
;
.
2.3. Вычисляем эластичности спроса и предложения при равновесной цене:

Таким образом, при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0,375%, а предложение возрастает на 0,5%.

  1. Излишек производителя — это разница между рыночной ценой (P1) и предельными издержками выпускаемой продукции, показывающие минимальную цену (P0) при которой фирма еще производила бы каждую дополнительную единицу продукции.
    Pравн = 2
    Pmin = — 2 (q=0; p+2=0)

(Pравн – Pmin)Qравн / 2 = (2 – (-2))*4/2 = 8

Ответ: 1) равновесная цена товара равна 4; 2) при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0,2%, а предложение возрастает на 0,5%; 3) излишки производителя равны 8.

Решение (вариант 10):

  1. Определяем равновесную цену p0, при которой спрос равен предложению.

Отсюда p0=4. (Отрицательный корень отбрасываем, как не имеющий экономического смысла.)

  1. Находим эластичности спроса и предложения для равновесной цены.
    2.1. Находим производные q’(p) и s’(p): .

2.2. Получаем общие выражения для эластичностей спроса и предложения:
;
.
2.3. Вычисляем эластичности спроса и предложения при равновесной цене:

Таким образом, при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0,2%, а предложение возрастает на 0,5%.

  1. Излишек производителя — это разница между рыночной ценой (Pравн) и предельными издержками выпускаемой продукции, показывающие минимальную цену (Pmin) при которой фирма еще производила бы каждую дополнительную единицу продукции.
    Pравн = 4
    Pmin = — 4 (q=0; p+4=0)

(Pравн – Pmin)Qравн / 2 = (4 – (-4))*8/2 = 32

Ответ: 1) равновесная цена товара равна 4; 2) при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0,2%, а предложение возрастает на 0,5%; 3) излишки производителя равны 32.

Задача № 3

Фирма реализует произведенную продукцию по цене p, а зависимость издержек C имеет вид .
Найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Вариант 2. a=50; b=0,001; c=30; p=60.
Вариант 10. a=50; b=0,012; c=15; p=90.

Решение (Вариант 2):
Пусть объем выпускаемой продукции q . Составим функцию прибыли.

P(q)=60q – (50q + 0.001q3+30),

1.Найдем производную данной функции

P’(q)=60 – (50 + 0.003q2) = 10 – 0.003q2

  1. Найдем критические точки.

10 – 0.003q2 = 0
q2 = 3333.3
q1 = 57.7 58
q2 = — 57.7 — не рассматриваем по смыслу задачи

  1. Находим максимум функции.
    P(x=58)=1057.7-0.00157.73 -30 = 354.9(ден.ед)
    Ответ: Оптимальный выпуск продукции – 58 единиц, при этом прибыль составит 354,9 ден. ед.

Решение (Вариант 10):
Пусть объем выпускаемой продукции q . Составим функцию прибыли.

P(q)=90q – (50q + 0.012q3+15),

1.Найдем производную данной функции

P’(q)=40 – 0.036q2

  1. Найдем критические точки.

40 – 0.036q2= 0
q2 = 1111,1
q1 = 33,3 33
q2 = -33,3 — не рассматриваем по смыслу задачи

  1. Находим максимум функции.
    P(x=33)=4057.7-0.045403 -15 = 873,8(ден.ед)
    Ответ: Оптимальный выпуск продукции – 33 единицы, при этом прибыль составит 873,8 ден. ед.
Оцените статью
Поделиться с друзьями
BazaDiplomov