Задачи (Финансовый риск)

Финансовый риск. Контрольная работа.

Занятие №1 Тема «Финансовые вычисления».
2.1. Основные понятия
Задача 1.
Ссуда в размере 4 млн. руб. дана на 1 год с условием возврата 8 млн. руб. Найти процентную ставку и дисконт.

Решение:
Формула расчета суммы наращения при простой процентной ставке:

S(n) = S(0) * (1 + n*i),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

Тогда i = (S(n) / S(0) – 1) / n

i = (8/4 – 1) / 1 = 1
Таким образом процентная ставка составила 100%

Найдем дисконт

ΔS = S(n) – S(0) = 8 – 4 – 4 млн. руб.

Ответ: i = 100%, ΔS = 4 млн. руб.

Задача 2.
Кредит выдан на 15 млн. руб. с кредитной ставкой 50% годовых. Сколько следует вернуть через год?

Решение:

S(n) = S(0) * (1 + n*i),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

S(n) = 15 * (1 + 1 * 0,5) = 22,5

Ответ: 22,5 млн. руб.

Задача 3.
Кредит выдан с условием возврата через год 15 млн. руб. и дисконтом 30%. Сколько получит дебитор?

Решение:

S(0) = S(n)* (1 – n*d),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
d – дисконт

S(0) = 15 * (1 – 1*0,3) = 10,5

ΔS = 15 – 10,5 = 4,5
Ответ: 4,5 млн. руб.
2.2. Кредитование
Задача 4.
Выдан кредит на сумму 12 млн. руб. с 15.01.2017. по 15.03. 2017 г. под 60% годовых. Найти сумма погасительного платежа при точном расчете, и приближенном расчете.

Решение:

S(n) = S(0) * (1 + n*i/N),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – количество дней займа
N – число дней в году
i – процентная ставка

При точном расчете определяется точное число дней кредита, а продолжительность года равна 365 дней.
2017 – невисокосный год, поэтому срок займа составит:
16 + 28 + 15 = 59 дней.

S(n) = 12 * (1 + 59 * 0,6 / 365) = 13,164 млн. руб.

При приближенном расчете каждый месяц составляет 30 дней, а продолжительность года равна 360 дней.
Тогда срок займа составит 60 дней.

S(n) = 12 * (1 + 60 * 0,6 / 360) = 13,2 млн. руб.

Ответ: При точном расчете: 13,164 млн. руб., при приближенном: 13,2 млн. руб.

Задача 5.
Ссуда в размере 50 тыс. руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

S(n) = S(0) * (1 + n*i),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

S(n) =50 * (1 + 0,5 * 0,12) = 53 тыс. руб.

ΔS = 53 – 50 = 3
Ответ: 3 тыс. руб.

Задача 6.
Кредит в размере 20 млн. руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов расчета процентов: точное число дней ссуды и точная длительность года 366 дней; точное число дней ссуды и приближенная длительность года 360 дней; приближенные число дней ссуды и длительность года.

Решение:

S(n) = S(0) * (1 + n*i/N),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – количество дней займа
N – число дней в году
i – процентная ставка
1 вариант: точное число дней ссуды и точная длительность года 366 дней.
Срок займа составит: 29 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 11 = 284 дня.

S(n) = 20 * (1 + 284 * 0,3 / 366) = 24,656 млн. руб.
ΔS = 24,656 – 20 = 4,656 млн. руб.

2 вариант: точное число дней ссуды и приближенная длительность года 360 дней
Срок займа составит: 29 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 11 = 284 дня.

S(n) = 20 * (1 + 284 * 0,3 / 360) = 24,733 млн. руб.
ΔS = 24,733 – 20 = 4,733 млн. руб.

3 вариант: приближенные число дней ссуды и длительность года
Срок займа составит: 29 + 30*8 + 11 = 280 дней.

S(n) = 20 * (1 + 280 * 0,3 / 360) = 24,667 млн. руб.
ΔS = 24,667 – 20 = 4,667 млн. руб.

Ответ: 1 вариант: 4,656 млн. руб.; 2 вариант: 4,733 млн. руб.; 3 вариант: 4,667 млн. руб.

Задача 7.
Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 млн. руб. вырастет до 27 млн. руб., если используется простая ставка процентов 18% годовых.

Решение:

S(n) = S(0) * (1 + n*i),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

Отсюда n = (S(n) / S(0) -1) / i

n = (27 / 25 – 1) / 0,18 = 0,44 года ≈ 5,3 месяца

Ответ: Период начисления = 0,44 года ≈ 5,3 месяца

Задача 8.
Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 48 млн. руб. достигнет 50 млн. руб. через полгода.

Решение:
Формула расчета суммы наращения при простой процентной ставке:

S(n) = S(0) * (1 + n*i),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

Тогда i = (S(n) / S(0) – 1) / n

i = (50/48 – 1) / 0,5 = 0,083
Таким образом процентная ставка составила 8,3%

Ответ: i = 8,3%

Задача 9.
Кредит выдается под простую ставку 16% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 млн. руб.

Решение:

S(n) = S(0) * (1 + n*i/N),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – количество дней займа
N – число дней в году
i – процентная ставка

Отсюда S(0) = S(n) / (1 + n*i/N),

S(0) = 40 / (1 + 250 * 0,16 / 365) = 36.05 млн. руб.
ΔS = 40 – 36.05 = 3.95 млн. руб.

Ответ: S(0) = 36.05 млн. руб.; ΔS = 3.95 млн. руб.

Сложные проценты.
Задача 10.
Первоначальная вложенная сумма равна 300 тыс. руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставки процентов в размере 18% годовых. Рассмотреть случаи, когда сложные проценты начисляются ежегодно, по полугодиям и поквартально.

Решение:

  1. Простая процентная ставка

S(n) = S(0) * (1 + n*i),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

S(n) = 300 * (1 + 5 * 0,18) = 570 тыс. руб.

  1. Сложные проценты

S(n) = S(0) * (1 + i)n,

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

2.1 Ежегодное начисление процентов
n = 5
i = 0.18

S(n) = 300 * (1 + 0.18)5 = 686.327 тыс. руб.

2.2 Начисление процентов по полугодиям
n = 10
i = 0.09

S(n) = 300 * (1 + 0.09)10 = 710,21 тыс. руб.

2.1 Ежеквартальное начисление процентов
n = 20
i = 0.045

S(n) = 300 * (1 + 0.045)20 = 723,514 тыс. руб.
Ответ: Простая процентная ставка — 570 тыс. руб.; Сложные проценты: Ежегодное начисление процентов — 686.327 тыс. руб.; Начисление процентов по полугодиям — 710,21 тыс. руб.; Ежеквартальное начисление процентов — 723,514 тыс. руб.

Смешанные или комбинированные проценты.
Задача 11.
Первоначальная сумма долга равна 150 млн. руб. Определить наращенную сумму долга через 2,5 года, используя способ начисления смешанных процентов по ставке 25% годовых.

Решение:
При смешанной процентной ставке сумма возврата вычисляется по следующей формуле.

S(n) = S(0) * (1 + i)t * (1 + n*i),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
t – число лет займа
n – нецелое число лет займа
i – процентная ставка

S(n) = 150 * (1 + 0.25)2 * (1 + 0.5*0.25) = 263.672 млн. руб.

Ответ: Наращенная сумма долга при смешанной ставке = 236,672 млн. руб.

Задача 12.
Первоначальная сумма долга равна 10 млн. руб. Определить наращенную сумму долга через 2,25 года, используя способ начисления сложных процентов по ставке 20% годовых.

Решение:
S(n) = S(0) * (1 + i)n,

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

S(n) = 10 * (1+0,2)2,25 = 15,07 млн. руб.

Ответ: Наращенная сумма через 2,25 года составит 15,07 млн. руб.

Задача 13.
31 марта 2010 г. была получена в долг сумма 40 тыс. руб. под 20% годовых. Долг был возвращен 11 июня 2014 г. Какая сумма была возвращена?

Решение:
При смешанной процентной ставке сумма возврата вычисляется по следующей формуле.

S(n) = S(0) * (1 + i)t * (1 + n*i/N),

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
t – число целых лет займа
N – число дней в году
i – процентная ставка

Поскольку в условии 2 неполных года займа и 3 полных года, рассчитаем количество дней займа в каждом неполном году займа.

2010 год: 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 = 275 дней
2014 год: 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 11 = 162 дня.

Рассчитаем сумму возврата долга по формуле смешанных процентов:

S(n) = 40 * (1+ 275/365 * 0,2) * (1 + 0,2)3 * (1 + 162 / 365 * 0,2) = 40 * 1,15 * 1,728 * 1,089 = 86,56 тыс. руб.

Ответ: Возвращенная сумма — 86,56 тыс. руб.

Различные задачи.
Задача 14.
За какой срок первоначальный капитал 150 млн. руб. увеличится до 400 млн. руб., если:
а) на него начисляются сложные проценты по ставке 28% годовых;
б) проценты начисляются ежеквартально;
в) проценты начисляются непрерывно?

Решение:

а) Сложные проценты

S(n) = S(0) * (1 + i)n,

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

Отсюда n = LN(S(n)/S(0)) / LN(1 + i)

n = LN(400 / 150) / LN(1+0.28) = 3.97 года ≈ 4 года

б) проценты начисляются ежеквартально

n = (LN(S(n)/S(0)) / LN(1 + i/4)) / 4

n = (LN(400 / 150) / LN(1+0.07)) / 4 = 3.62 года ≈ 3 года 7 месяцев

в) проценты начисляются непрерывно

Формула начисления непрерывных процентов:

S(n) = S(0) * ein,

где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
e – число Эйлера (2,718281)
n – срок займа
i – процентная ставка

n = (LN(S(n)/S(0)) / LN(e)) / i

n = (LN(400 / 150) / 1) / 0.28 = 3.503 года ≈ 3 года 6 месяцев

Ответ: а) При сложных процентах срок займа равен 4 года;
б) проценты начисляются ежеквартально ≈ 3 года 7 месяцев
в) проценты начисляются непрерывно ≈ 3 года 6 месяцев

2.3. Дисконтирование
Задача 15.
Вексель выдан на сумму 12 млн. руб. и содержит обязательство выплатить владельцу эту сумму 15.03.2013 г. Владелец предъявил банку вексель досрочно 01.02.2013 г., банк согласился выплатить сумму (учесть вексель), но с дисконтом 20% годовых. Найти полученную сумму.

Решение:

Для расчета суммы денежных средств, полученных векселедержателем при учете векселя в банке, используется формула простого дисконта

S = P (1 – d * t),

где P – номинальная стоимость векселя;
d – учетная ставка (ставка дисконта), выраженная в коэффициенте;
t – период времени.

В нашем случае период времени равен разнице между датой погашения и датой фактической относительно целого года.
Число дней до погашения: 28 + 14 = 42
Число дней в году (год не високосный): 365

Тогда полученная сумма будет равна:
S = 15 * (1 – 0,2* 42/365) = 14,655 млн. руб.

Ответ: Полученная сумма: 14,655 млн. руб.

Задача 16.
Определить современную (текущую, настоящую, приведенную) величину суммы 50 млн. руб., выплачиваемую через три года при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.

Решение:

S(n) = S(0) * (1 + i)n,

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка

S(n) = 50 * (1+0.24)3 = 95.33 млн. руб.
Ответ: 95,33 млн. руб.

Задача 17.
Вексель на 3 млн. руб. с годовой учетной ставкой 12% с дисконтированием 4 раза в год выдан на 2 года. Найти исходную сумму, которая должна быть выдана в долг под вексель.

Решение:

S(0) = S(n) * (1 — d)n,

Где S(n) – сумма векселя
S(0) – исходная сумма долга
n – срок займа
d – процентная ставка

S(0) = 3 * (1 – 0.12/4)8 = 2.35

Ответ: Исходная сумма долга: 2,35 млн. руб.

Задача 18.
Имеется вексель следующей формы:
«8000 руб. Санкт-Петербург. 1 сентября 2012 г. Обязуюсь уплатить через 60 дней после данной даты по распоряжению гражданина А 8000 руб. с процентной ставкой 12% годовых.
/подпись/ гражданин В».
За сколько банк купит вексель 1 октября 2012 г., если банковская процентная ставка 9,5%?

Решение:

Найдем исходную сумму займа:

S(0) = S(n) * (1 — d)n,

Где S(n) – сумма векселя
S(0) – исходная сумма долга
n – срок займа
d – процентная ставка

S(0) = 8000 * (1 – 0.12/12)2 = 7840,8 руб.

Найдем наращенную сумму через 1 месяц при ставке 9,5%

S(n) = 7840.8 * (1 + 0.95/12)1 = 7902 руб.

Ответ: Банк купит вексель за 7902 руб.

2.4. Эффективная ставка
Задача 19.
Найти эффективную ставку сделки, в результате которой первоначальный капитал утроился за 6 лет.

Решение:

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m — разовое наращение в год по ставке j/m.
Если проценты начисляются по сложной ставке m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, можно записать равенство для множителей наращения:

где iэ — эффективная ставка, a j — номинальная.
Получим выражение для определения эффективной ставки через номинальную:

S(n) = S(0)(1+iэ)n = S(0) (1 + j/m)mn

S(n)/S(0) = 3, т.к. капитал утроился.

При ежегодном начислении процентов (m=1) эффективная ставка составит:

(1 + j/1)1*6 = 3

iэ = (1 + j/1)1 – 1 = = 1.20 – 1 = 0.2 = 20%

Ответ: Эффективная ставка составит 20%

Задача 20.
В долг дана сумма 2 млн. руб. Через 2,5 года следует вернуть 4 млн. руб. Найти эффективную ставку в данной сделке.

Решение:

S(n) = S(0)*(1+iэ)n = (1 + j/m)mn

S(n)/S(0) = 4 / 2 = 2.

При ежегодном начислении процентов (m=1) эффективная ставка составит:

(1 + j/1)1*2,5 = 3

iэ = (1 + j/1)1 – 1 = = 1.3195 – 1 = 0.3195 = 31,95%

Ответ: Эффективная ставка составит 31,95%

Задача 21.
Выдан кредит в 2 млн. руб. на 3 месяца под 40% годовых. Найти эффективную ставку, учитывая, что кредит краткосрочный.

Решение:

Найдем сумму возврата по кредиту при ежемесячном н

S(n) = 2 * (1 + 90 *0.4 / 360) = 2.2 млн. руб.

S(n)/S(0) = 2,2 / 2 = 1,1.

При ежемесячном начислении процентов (m=12) эффективная ставка составит:

(1 + 0,4/12)12 – 1 = 0,4821 = 48,21%

Ответ: Эффективная ставка составит 48,21%

Задача 22.
Вексель 5 млн. руб. выдан на 3 года с годовой учетной ставкой 10% с дисконтированием 2 раза в год. Найти эффективную ставку.

Решение:

S(0) = S(n) * (1 — d)n,

Где S(n) – сумма векселя
S(0) – исходная сумма долга
n – срок займа
d – процентная ставка

S(0) = 5 * (1 – 0.1/2)3*2 = 3.67 млн. руб.

iэ = 1 — (1 — 0.1/2)2 = 0.9.75 = 9.75 %

Ответ: Эффективная ставка составит 9.75%

Задача 23.
Остров Манхеттен был продан в 1624 г. за $ 24. В 1976 г. его стоимость была $ 40109. Какова эффективная ставка сделки? Используя эффективную ставку, оценить современную стоимость острова Манхеттен.

Решение:

S(n) = S(0) * (1 + i)n,

Где S(n) – сумма острова в 1976 г. (40 * 109 $)
S(0) – исходная сумма острова (24$)
n – разница в годах (352)
i – процентная ставка

Отсюда найдем процентную ставку

i = = 0.0622= 6.22 %

Определим современную стоимость острова с учетом того, что с 1976 года прошло 37 лет.

S(n) = 40109(1 + 0,0622)37 = 373 * 109 $

Ответ: Эффективная ставка составит 6,22%; современная стоимость острова Манхеттен: 373 * 109 $

2.5. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт
Задача 24.
Ссуда 100 тыс. руб. дана на 2,5 года под ставку 10% годовых с ежеквартальным начислением. Найти сумму конечного платежа по дискретным и непрерывным процентам. Найти эффективную ставку.

Решение:

Найдем сумму конечного платежа при ежеквартальном начислении

S(n) = S(0) * (1 + i/m)nm,

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка
m – число периодов начисления в году (m = 4)

S(n) = 100 * (1 + 0,1/4)4*2,5 = 128 тыс. руб.

Найдем сумму конечного платежа при непрерывном начислении

S(n) = S(0) * ein,

где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
e – число Эйлера (2,718281)
n – срок займа
i – процентная ставка

S(n) = 100 * 2,7182812,5*0,1 = 128,4 тыс. руб.

Найдем эффективную ставку.

S(n) = S(0)(1+iэ)n = S(0) (1 + j/m)mn

iэ = (1 + i / m)m – 1

iэ = (1 + 0,1/4)4 – 1 = 0,1038 = 10,38%

Ответ: Сумма конечного платежа при ежеквартальном начислении = 128 тыс. руб.
Сумма конечного платежа при непрерывном начислении = 128,4 тыс. руб.
Эффективная ставка = 10,38%

Задача 25.
Вексель на 13 млн. руб. с годовой учетной ставкой 8% и дисконтированием 2 раза в год выдан на 2 года. Найти исходную сумму, которая должна быть выдана в долг под этот вексель по дискретным и непрерывным процентам. Найти эффективную ставку.

Решение:
Найдем исходную сумму займа по дискретным процентам:

S(0) = S(n) * (1 — d)n,

Где S(n) – сумма векселя
S(0) – исходная сумма долга
n – срок займа
d – процентная ставка

S(0) = 13 * (1 – 0.08/2)2*2 = 11,04 млн. руб.

Найдем исходную сумму займа по непрерывным процентам:

S(0) = S(n) * e-in,

S(0) = 13 * 2.718-0.08*2 = 11.08

Найдем эффективную ставку.

S(n) = S(0)(1-iэ)n = S(0) (1 — j/m)mn

iэ = 1- (1 – i / m)m

iэ = 1 — (1 — 0,08/2)2 = 0,0784 = 7.84 %

Ответ: Исходная сумма при дискретном начислении = 11,04 млн. руб.
Исходная сумма при непрерывном начислении = 11,08 млн. руб.
Эффективная ставка = 7,84%
Задача 26.
Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 25% в конце года она равна 15%. В начале года у господина А имеется сумма 300 тыс. руб. Какова реальная стоимость этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть вложены деньги, чтобы они не обесценились?

Решение:

При линейном наращении множитель наращения находится как:

В нашем случае инфляция распределена по закону:
it = 0.25 – 0.1t
Поэтому n = 1; a = -0.1

Найдем множитель наращения:

q = 2.7180.251 + (-0.11/2) = 2.7180.2 = 1.2214
Таким образом инфляция в среднем за год составит 22,14%

Реальная стоимость суммы к концу года определяется по формуле:

S = S0 * (1 – i) =300 * (1 – 0,2214) = 233,6 тыс. руб.

Ответ: Реальная стоимость суммы господина А к концу года составит 233,6 тыс. руб. Необходимо делать вклад под процент не ниже 22,14%.

Занятие №2 Тема «Потоки платежей».
3.1. Однонаправленные потоки платежей
Задача 27.
Контракт предусматривает следующий порядок использования кредитной линии: 01.07.2011 г. – 15 млн. руб., 1.01.2012 г. – 9 млн. руб., 01.01.2014 г. – 18 млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало 2015 г. и современную стоимость этого потока на начало срока при условии, что проценты начисляются по ставке 10% годовых.

Решение:

Обозначив сумму задолженности на начало 2015 г. через S получим:
,
где i – процентная ставка
Rt — ряд платежей
nt – время после некоторого начального момента времени.
n – общий срок выплат, лет.

S = 15 * 1.13.5 + 9 * 1.13 + 18 * 1.11 = 52.72 млн. руб.

Современную стоимость такого потока также находим прямым счетом как сумму дисконтированных платежей:

где А – современная стоимость потока платежей, – дисконтный множитель по ставке i.

A = 15 + 9 * 1.1-0.5 + 18 * 1.1-3.5 = 36,48 млн. руб.

Ответ: сумма задолженности на начало 2015 г. = 52.72 млн. руб.
Современную стоимость = 36,48 млн. руб.

3.2. Финансовая рента (аннуитет)
Задача 28.
Кредит 10 млн. руб. погашается 12 равными ежемесячными взносами. Найти сумму выплат при ставке 12% годовых.

Решение:

Для вычисления наращенной суммы в этом случае используем формулу:

S = 10/12 * ((1 + 0.12/12)12 – 1)/(0.12/12) = 10.56 млн. руб.

Найдем сумму ежемесячного платежа:

10,56 / 12 = 0,88 млн. руб.

Ответ: Сумма ежемесячного платежа = 0,88 млн. руб.

Задача 29.
Для приобретения недвижимости стоимостью 130 тыс. $ берется кредит под 16% годовых. Согласно контракту погашение кредита происходит каждый месяц в течение 30 лет. Какова сумма месячного платежа?

Решение:

Для вычисления наращенной суммы в этом случае используем формулу:

R = 1,78 тыс. долл.

Ответ: Сумма ежемесячного платежа = 1,78 тыс. долл.

Задача 30.
В конце каждого месяца на сберегательный счет инвестируется 5 тыс. руб. На поступающие платежи ежемесячно начисляются сложные проценты по годовой ставке 8%. Какова величина вклада через 4 года? Какую сумму нужно разместить инвестору на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 4 года в предположение, что проценты начисляются по той схеме – ежемесячно?

Решение:

Для вычисления наращенной суммы в этом случае используем формулу:

S = 5 * ((1+0,08/12)12*4 – 1)) / (0,08/12) = 281,8 тыс. руб.

Для вычисления суммы для размещения на депозите воспользуемся формулой:

S(n) = S(0) * (1 + i/m)n*m,

Где S(n) – сумма возврата
S(0) – сумма ссуды
n – срок займа
i – процентная ставка
m – число начислений в одном году

Отсюда исходная сумма:

S(0) = 281.8 / (1 + 0,08/12)12*4 = 204,85 тыс. руб.

Ответ: Наращенная сумма = 281,8 тыс. руб.
Сумма для размещения на депозите = 204,85 тыс. руб.

Задача 31.
Ссуда в 20 млн. руб. выдана под 12% годовых (т.е. 1% месячных) и требует ежемесячной оплаты по 260 тыс. руб. и выплаты остатка долга к концу срока в 10 лет. Каков остаток долга?

Решение:

Найдем наращенную сумму через 10 лет:

S = 15,345 млн. руб.

Остаток долга равен:

∆S = 20 – 15,345 = 4,655

Ответ: Остаток долга через 10 лет составит 4,655 тыс. руб

Задача 32.
Банк дает кредит под 24% годовых. Кредит на 200 тыс. руб. погашается ежемесячными платежами в размере 6 тыс. руб. Часть ежемесячного платежа – 0,5% от суммы кредита идет на обслуживание кредита, оставшаяся часть идет на погашение кредита. Сколько должно быть выплат, чтобы погасить кредит?

Решение:

Рассчитаем ежемесячный платеж (за минусом 0,5%):

R = 6 – 0,005*6 = 5.97 тыс. руб.

Исходя из формулы:

n = 4.75 года или 57 месяцев

Ответ: 57 выплат

3.3. Двусторонние потоки платежей.
Задача 33.
Контракт между фирмой и банком предусматривает, что банк предоставляет в течение 3 лет кредит фирме ежегодными платежами в размере 2млн. $ в начале каждого года под ставку 10% годовых. Фирма возвращает долг, выплачивая 2 млн., 4 млн. и 2 млн. $ последовательно в конце 3, 4-го и 5-го года.
Найти S(o) чистый приведенный доход (NPN) для банка. Приемлема ли сделка для банка?

Решение:

Обозначив сумму кредита к концу 3 года через S получим:
,
где i – процентная ставка
Rt — ряд платежей
nt – время после некоторого начального момента времени.
n – общий срок выплат, лет.

S = 2 * 1.13 + 2 * 1.12 + 2 * 1.1 = 7,28 млн. руб.

Найдем современную стоимость потока платежей фирмы на конец 3-го года:

где А – современная стоимость потока платежей, – дисконтный множитель по ставке i.

A = 2 + 4 * 1.1-1 + 2 * 1.1-2 = 6,81 млн. руб.

Чистый приведенный доход для банка составит: 6,81 – 7,28 = -0,47 млн. руб.

Ответ: Чистый приведенный доход для банка составит -0,47 млн. руб., сделка для банка неприемлема.

Эффективная ставка финансовой операции
Задача 34.
Сравнить эффективность трех сделок:

  1. В начале первого года банк дает фирме кредит в размере 3 млн. руб. В конце второго года фирма возвращает 4 млн. руб.
  2. Банк дает фирме кредит два этапа: в начале первого года – 2 млн. руб., в начале второго года – 1 млн. руб. В конце второго года фирма возвращает 4 млн. руб.
  3. Банк дает фирме кредит два этапа: в начале первого года – 1 млн. руб., в начале второго года – 2 млн. руб. В конце второго года фирма возвращает 4 млн. руб.

Решение:

Обозначим процентную ставку как i.

Найдем прибыль банка от выданного кредита к концу второго года в каждом из 3-х случаев:

1) S1 = 4 — 3 * (1+i)2 = 4 – 3i2 – 6i – 3 = 1 — 3i2 – 6i
2) S2 = 4 – (2 * (1+i)2 + 1 * (1 + i)1) = 4 – (2i2 + 4i + 2 + 1 + i) = 1 — 2i2 – 5i
3) S3 = 4 – (1 * (1+i)2 + 2 * (1 + i)1) = 4 – (i2 + 2i + 1 + 2 + 2i) = 1 — i2 – 4i
Так как i не может быть меньше 0, наибольшая прибыль при равных процентных ставках может быть получена в третьем случае.

Ответ: Наиболее эффективна третья сделка

3.4 Эффективная ставка кредита
Задача 35.
Кредит 100 тыс. руб. выдан банком на 10 месяцев под 12% годовых. Договор предусматривает дополнительные ежемесячные выплаты на обслуживание кредита в размере 1% от суммы кредита и комиссионный сбор в момент заключения сделки в размере 2% от суммы кредита. Найти размер месячного платежа и эффективную ставку сделки. Какая схема погашения кредита выгоднее: аннуитетная (равными платежами) или дифференцированная? Может быть, лучше погашать кредит по дифференцированной схеме, тогда и эффективная ставка будет меньше? (Воспользоваться функциями Excel)
Решение:
Рассчитаем суммы платежей и итоговые суммы выплат по аннуитетной или дифференцированной схемам с помощью Excel.

1) аннуитетная
№ платежа Сумма платежа Основной долг Начисленные проценты Ежемесячные комиссии Остаток задолженности
1 11 558,21 9 558,21 1 000,00 1 000,00 90 441,79
2 11 558,21 9 653,79 904,42 1 000,00 80 788,00
3 11 558,21 9 750,33 807,88 1 000,00 71 037,67
4 11 558,21 9 847,83 710,38 1 000,00 61 189,84
5 11 558,21 9 946,31 611,90 1 000,00 51 243,53
6 11 558,21 10 045,77 512,44 1 000,00 41 197,76
7 11 558,21 10 146,23 411,98 1 000,00 31 051,53
8 11 558,21 10 247,69 310,52 1 000,00 20 803,84
9 11 558,21 10 350,17 208,04 1 000,00 10 453,67
10 11 558,21 10 453,67 104,54 1 000,00 0,00
Итого 115 582,08 100 000,00 5 582,08 10 000,00

2) дифференцированная
№ платежа Сумма платежа Основной долг Начисленные проценты Ежемесячные комиссии Остаток задолженности
1 12 000,00 10 000,00 1 000,00 1 000,00 90 000,00
2 11 900,00 10 000,00 900,00 1 000,00 80 000,00
3 11 800,00 10 000,00 800,00 1 000,00 70 000,00
4 11 700,00 10 000,00 700,00 1 000,00 60 000,00
5 11 600,00 10 000,00 600,00 1 000,00 50 000,00
6 11 500,00 10 000,00 500,00 1 000,00 40 000,00
7 11 400,00 10 000,00 400,00 1 000,00 30 000,00
8 11 300,00 10 000,00 300,00 1 000,00 20 000,00
9 11 200,00 10 000,00 200,00 1 000,00 10 000,00
10 11 100,00 10 000,00 100,00 1 000,00 0,00
Итого 115 500,00 100 000,00 5 500,00 10 000,00

Ответ: сумма платежа по дифференцированной схеме меньше, чем при аннуитетной.

Занятие №3 Тема «Финансовые вычисления по ценным бумагам».
3.5 Финансовые вычисления по ценным бумагам
Оценка облигаций с нулевым купоном
Задача 36.
Оценить текущую стоимость облигации с нулевым купоном номинальной стоимостью 1000 руб. и сроком погашения через 3 года. Ставка дисконта r=20%.

Решение:

Текущая стоимость облигации рассчитывается по формуле:

v = 1000 / (1 + 0.2)3 = 578.7

Ответ: текущая стоимость облигации = 578,7 руб.

Оценка облигации с фиксированной ставкой
Задача 37.
Оценить текущую стоимость облигации (PV) по номинальной стоимости 1 млн. руб. с купонной ставкой rk=20%, дисконтом r=12%. Срок погашения 5 лет.

Решение:

Где k — купонная ставка облигации.

v = (0.2 * 1) / (1 + 0.12)1 + (0.2 * 1) / (1 + 0.12)2 + (0.2 * 1) / (1 + 0.12)3 + (0.2 * 1) / (1 + 0.12)4 + (0.2 * 1) / (1 + 0.12)5 + 1 / (1 + 0.12)5 = 1.288

Ответ: Текущая стоимость облигации = 1,288 млн. руб.

Оценка бессрочных облигаций с постоянным доходом
Задача 38.
Оценить текущую стоимость бессрочной облигации, если по ней ежегодно выплачивается доход 1 тыс. руб. Ставка дисконта r=10%.

Решение:

PVобл = Y/r,

где РVобл — текущая стоимость облигации,
Y — купонный доход,
r — требуемая норма, %.

PVобл = 1 / 0.1 = 10 тыс. руб.

Ответ: Текущая стоимость бессрочной облигации составляет 10 тыс. руб.

Оценка обыкновенных акций
Задача 39.
Оценить текущую стоимость акции, если каждый год дивиденд равен 100 тыс. руб. Ставка дисконта r=5%.

Решение:

где T — текущая стоимость облигации,
D’ — дивиденд,
r — Ставка дисконта, %.

T = 100 / 0.05 = 2 млн. руб.

Ответ: Текущая стоимость акции составляет 2 млн. руб.

Акции с равномерно возрастающими дивидендами
Задача 40.
Компания начальный дивиденд D=10 тыс. руб. ежегодно наращивает с темпом роста q=3%. Найти текущую стоимость акций компании при ставке дисконта r=8%

Решение:

где T — текущая стоимость облигации,
D’ — дивиденд,
r — ставка дисконта, %.
g — величина процентного роста

T = 10 / (0.08 – 0,03) = 200 тыс. руб.

Ответ: Текущая стоимость акций составляет 200 тыс. руб.

Оцените статью
Поделиться с друзьями
BazaDiplomov