Задачи Математическая логика 1 вариант

Задание 1 (Множества)

1) Составить множества различных букв. А – своего полного имени, В – своего отчества, С – своей фамилии.
2) Найти объединение и пересечение множеств А и В.
3) Найти дополнения к С до А и к А до С.
4) Проверить на диаграммах, верно ли равенство: .
5) Вычислить, сколько элементов имеет декартово произведение множеств А и В, изобразить их точками плоскости.

Решение:

1) А={А, Л, Е, Н}, В={Н, И, К, О, Л, А, Е, В}, С={Л, А, Б, У, Т, И, Н}.
2) = {А, Л, Е, Н, И, К, О, Е, В}. = {А, Л, Е, Н}.
3) Т.к. {А, Л, Н}, то {Е} и {Б, У, Т, И}.
4) {А, Л, Е, Н, И}.

= {А, Л, Е, Н, И}
Ответ: Т.к. получилось одно и то же множество, то равенство верно.

5) . В
Е
А
Л
О
К
И
Н

                                                                  А               Л                Е               Н   

Задание 2 (Графы)

Пусть множество А из предыдущего задания есть множество обозначений вершин для построения графов, т.е. множества точек V.
1) Изобразить вершины графа точками, обозначить их и соединить ребрами так, чтобы получился а) полный граф — , б) двудольный граф — , в) полный двудольный граф — , г) регулярный граф — (указать его степень), д) односвязный граф с одним “мостом” — , е) непростой граф — (т.е выполнить не менее шести рисунков).
2) Найти среди изображенных графов а) эйлеров граф, б) полуэйлеров граф, в) граф, имеющий циклы (если они есть на рисунках, подписать их; если нет, то изобразить такие графы).
3) Из множеств А, В и С предыдущей задачи выбрать множество с наименьшим числом букв (элементов) и, считая их вершинами графа, изобразить все возможные деревья с вершинами во всех этих точках.

Решение:
1) а) – полный граф с 4-мя вершинами, граф, имеющий циклы

А Л

Е Н

б) двудольный граф с 4-мя вершинами

А           Л




Е           Н

в) полный двудольный граф с 4-мя вершинами, эйлеров граф.

А           Л




Е           Н

г) регулярный граф со степенью вершин r=3.

А Л

Е Н

д) односвязный граф с одним “мостом”, полуэйлеров граф

А           Л




Е           Н

е) непростой граф, полуэйлеров граф

    А               Л



   Е                    Н

3) Возьмем множество А={А, Л, Е, Н}

    А                       А




    Л                       Л





Е           Н               Е




                            Н

Задание 3 (Теория вероятностей)

Возьмем множества А и В из задания 1. Пусть каждая из букв написана на отдельной карточке и множества А и В – это две колоды карточек (все карточки положены буквами вниз, их не видно).
Вычислить вероятность того, что при выборе наугад по одной карточке из каждой колоды будут вынуты а) 2 одинаковые буквы; б) 2 разные буквы; в) хотя бы одна из букв такая, какую Вы задумали заранее (укажите, какую именно; если есть разные варианты решения, то покажите все решения).

Решение:

А={А, Л, Е, Н}, В={Н, И, К, О, Л, А, Е, В}

а) Общих букв 4, т.к. = {А, Л, Е, Н}
Вероятность выбора буквы из А равна 1/4, вероятность их выбора из В равна 1/8; вероятность их выбора из А и из В = ¼ * 1/8 = 1/32.

б) т.к. во всех остальных случаях буквы будут различны, то вероятность выбора двух разных букв равна ;

в) если задумана буква “А”, то вероятность ее выбора хотя бы из одной колоды – это 3 случая: “А” из А и любая другая буква из В, “А” из В и любая другая буква из А, а также “А” – из А и В; сложив вероятности, получим: .

если задумана буква “О”, то вероятность ее выбора хотя бы из одной колоды – это 1 случай: “О” из В и любая другая буква из А, получим: .

Задание 4 (Математическая логика).

А. Составить таблицу истинности формулы:

  1.  x  y  ( y  x  y); 2.  (x  y ) ( x  y)   y);
  2. y   x  ( y  x   x); 4. x  y  ( x   y  y );
  3. x  ( x   y   y   x); 6. (y   x  ( x  y))  x y;
  4.  (x   y)  (x  y); 8. x  ( y  y   (x y));
  5. x  y   y  ( x  y); 10. x  (  y  x y);

Примеры. А. Составить таблицу истинности формулы
(x   y)  (x y))  x   y.
Решение. Порядок выполнения действий:
x  t

                                             
                                  z                                                 

y   v

x
y
 y
x  y z
 y  (x  y) t
(x z) v
( x   y ) Ответ:
t  v
И
И
Л
Л И
Л
И
Л Л
И
Л
И И
И
И
Л Л
И
Л
Л Л
И
И
И И
И
Л
И Л
И
Л
И

Решение: 1 вариант

Составить таблицу истинности формулы:
 x  y  ( y  x  y);

x
y
 x
 y
x  y z
 y  x  y t
 x  y Ответ:
z  t
И
И
Л
Л И
Л
И
Л Л
Л
И
И Л
И
Л
И И
И
Л
И И
И
И
И Л
Л
И
Л И
И
И
И

Задание 5 (Математический анализ).

Построить график дробно-рациональной функции (варианты 1-30), предварительно исследовав ее по следующему плану:
1) найти область определения функции (для этого можно преобразовать формулу, разложив числитель и знаменатель на множители);
2) если есть точки разрыва, то выяснить, есть ли в них вертикальные асимптоты (для этого найти в этих точках пределы функции слева и справа);
3) найти наклонные или горизонтальные асимптоты (для этого преобразовать формулу функции, выделив целую часть из дроби);
4) проверить, не обладает ли функция частными свойствами: а) четностью или нечетностью, б) периодичностью (если нет, то доказать, пояснить это);
5) найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства, если точки пересечения с осью легко находятся;
6) найти производную и критические точки;
7) по знаку производной выяснить интервалы возрастания и убывания функции и что она имеет в критических точках;
8) изобразить систему координат (в соответствии с исследованными свойствами) и отметить в ней все найденные точки, изобразить асимптоты; для уточнения вида графика найти координаты нескольких дополнительных точек; отметить их и нарисовать график;
9) если в п.5 не были найдены точки пересечения графика с осью (нули функции), то найти их теперь по графику;
10) найти область изменения функции (по графику и исследованным свойствам).

Решение (вариант 1):

1)
Область определения данной функции лежит во всех точках, где знаменатель не равен нулю.
Решив квадратное уравнение x2-x-2=0 получаем его корни:
x1 = 2
x2 = -1
значит, .

2) а) при слева ; (1)

-2 -1,1 -1,01 …

-10 -45.1 -405,01 …

         при   справа  ;                                                                      (2)

0 -0.9 -6,9 …

3.5 121,5 395.01 …

        Значит,    - вертикальная асимптота;
    б)  при   (и слева и справа)                

1,9 2,1

-0.72 -0.61
асимптоты нет; x = 2 — исключенная точка (т. разрыва).

3) В
; т.к. при , то
; таким образом, прямая — наклонная асимптота.

4) Исследуем на четность:
; видим, что: и

  • , т.е. и , значит, общего вида (не обладает ни четностью, ни нечетностью); не является периодической как дробно-рациональная функция (многочлены – непериодические функции).

5) а) при ; значит,
— точка пересечения графика с осью ординат; (4)
б) при =0, но , т.е. при или , т.о.
и — точки пересечения графика с осью абсцисс. (5)
С учетом точек разрыва и найденных значений функции (по (1), (2), (3) и (4), (5)) получаем: при ; при ;
при ; при .
6)
а) нет критических точек, где не существует, т.к. не имеет значе-
ния только при , но ;
б) при и ,
значит, и — критические точки, а
; .
7)

  • 0 — нет зн. — 0 + + нет зн.

выводы от до

max
от
до
вертик.
асимпт от
до

min от
до

8) ;

                        y=x-5



      15      -10    -5      0         5       10     15

-5 -4 -3 -2 -0,99 0 1 1,9 3 4 5
-10 -9,33333 -9 -10 395,01 0 -1 -0,72069 0 0,8 1,666667

9) см. 5).

10) .

Оцените статью
Поделиться с друзьями
BazaDiplomov