Задание 1 (Множества)
1) Составить множества различных букв. А – своего полного имени, В – своего отчества, С – своей фамилии.
2) Найти объединение и пересечение множеств А и В.
3) Найти дополнения к С до А и к А до С.
4) Проверить на диаграммах, верно ли равенство: .
5) Вычислить, сколько элементов имеет декартово произведение множеств А и В, изобразить их точками плоскости.
Решение:
1) А={Е, К, А, Т, Р, И, Н}, В={И, Г, О, Р, Е, В, Н, А }, С={С, О, Р, К, И, Н, А}.
2) = { Е, К, А, Т, Р, И, Н , Г, О, В}. = {Е, А, Р, И, Н}.
3) Т.к. {К, А, Р, И, Н}, то {С, О} и {Е, Т}.
4) {Е, К, А, Т, Р, И, Н, О}.
= { Е, К, А, Т, Р, И, Н, О }
Ответ: Т.к. получилось одно и то же множество, то равенство верно.
5) . А
Н
В
Е
Р
О
Г
И
Е К А Т Р И Н Задание 2 (Графы)
Пусть множество А из предыдущего задания есть множество обозначений вершин для построения графов, т.е. множества точек V.
1) Изобразить вершины графа точками, обозначить их и соединить ребрами так, чтобы получился а) полный граф — , б) двудольный граф — , в) полный двудольный граф — , г) регулярный граф — (указать его степень), д) односвязный граф с одним “мостом” — , е) непростой граф — (т.е выполнить не менее шести рисунков).
2) Найти среди изображенных графов а) эйлеров граф, б) полуэйлеров граф, в) граф, имеющий циклы (если они есть на рисунках, подписать их; если нет, то изобразить такие графы).
3) Из множеств А, В и С предыдущей задачи выбрать множество с наименьшим числом букв (элементов) и, считая их вершинами графа, изобразить все возможные деревья с вершинами во всех этих точках.
Решение:
1) а) – полный граф с 7-ю вершинами, граф, имеющий циклы
Е КА Т
Р И
Нб) двудольный граф с 7-ю вершинами
Е К А
Т Р И Н
в) полный двудольный граф с 7-ю вершинами.
Е К А
Т Р И Нг) регулярный граф со степенью вершин r=4.
Е К АТ Р И Н
д) односвязный граф с одним “мостом”, полуэйлеров граф
Е К А
Т Р И Не) непростой граф
Е К А
Т Р И НЭйлеров граф
Е К
А Т
Р И
Н3) Возьмем множество А={Е, К, А, Т, Р, И, Н}
Задание 3 (Теория вероятностей)
Возьмем множества А и В из задания 1. Пусть каждая из букв написана на отдельной карточке и множества А и В – это две колоды карточек (все карточки положены буквами вниз, их не видно).
Вычислить вероятность того, что при выборе наугад по одной карточке из каждой колоды будут вынуты а) 2 одинаковые буквы; б) 2 разные буквы; в) хотя бы одна из букв такая, какую Вы задумали заранее (укажите, какую именно; если есть разные варианты решения, то покажите все решения).
Решение:
А={Е, К, А, Т, Р, И, Н}, В={И, Г, О, Р, Е, В, Н, А }
а) Общих букв 5, т.к. = {Е, А, Р, И, Н}
Вероятность их выбора из А равна , вероятность их выбора из В равна ; вероятность их выбора из А и из В –
б) т.к. во всех остальных случаях буквы будут различны, то вероятность выбора двух разных букв равна ;
в) если задумана буква “И”, то вероятность ее выбора хотя бы из одной колоды – это 3 случая: “И” из А и любая другая буква из В, “И” из В и любая другая буква из А, а также “И” – из А и В; сложив вероятности, получим: .
если задумана буква “К”, то вероятность ее выбора хотя бы из одной колоды – это 1 случай: “К” из А и любая другая буква из В, получим: .
Задание 4 (Математическая логика).
А. Составить таблицу истинности формулы:
- x y ( y x y); 2. (x y ) ( x y) y);
- y x ( y x x); 4. x y ( x y y );
- x ( x y y x); 6. (y x ( x y)) x y;
- (x y) (x y); 8. x ( y y (x y));
- x y y ( x y); 10. x ( y x y);
Решение: 8 вариант
Составить таблицу истинности формулы:
x ( y y (x y));
x
y
x y
(x y) z
y (x y) t
y z Ответ:
x t;
И
И
Л
Л И
Л
И
Л И
И
И
Л Л
Л
Л
И И
Л
И
И И
И
И
И И
И
И
И
Задание 5 (Математический анализ).
Построить график дробно-рациональной функции (варианты 1-30), предварительно исследовав ее по следующему плану:
1) найти область определения функции (для этого можно преобразовать формулу, разложив числитель и знаменатель на множители);
2) если есть точки разрыва, то выяснить, есть ли в них вертикальные асимптоты (для этого найти в этих точках пределы функции слева и справа);
3) найти наклонные или горизонтальные асимптоты (для этого преобразовать формулу функции, выделив целую часть из дроби);
4) проверить, не обладает ли функция частными свойствами: а) четностью или нечетностью, б) периодичностью (если нет, то доказать, пояснить это);
5) найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства, если точки пересечения с осью легко находятся;
6) найти производную и критические точки;
7) по знаку производной выяснить интервалы возрастания и убывания функции и что она имеет в критических точках;
8) изобразить систему координат (в соответствии с исследованными свойствами) и отметить в ней все найденные точки, изобразить асимптоты; для уточнения вида графика найти координаты нескольких дополнительных точек; отметить их и нарисовать график;
9) если в п.5 не были найдены точки пересечения графика с осью (нули функции), то найти их теперь по графику;
10) найти область изменения функции (по графику и исследованным свойствам).
Решение (вариант 1):
1)
Область определения данной функции лежит во всех точках, где знаменатель не равен нулю, т.е. x ; . x
значит, .
2) а) при слева ; (1)
-2 -1,1 -1,01 …
-10,00 -45,10 -405,01 …
при справа ; (2)0 -0,9 -0,99 …
0,00 35,10 395,01 …
Значит, - вертикальная асимптота;
б) при (и слева и справа) X -7 -6,1 -6,01 -5,99 -5,9 -5
Y -11,67 -10,88 -10,81 -10,79 -10,72 -10,00
асимптоты нет; x = -6 - исключенная точка (т. разрыва). 3) В
; т.к. при , то
; таким образом, прямая — наклонная асимптота.
4) Исследуем на четность:
; видим, что: и — , т.е. и , значит, общего вида (не обладает ни четностью, ни нечетностью); не является периодической как дробно-рациональная функция (многочлены – непериодические функции).
5) а) при ; значит,
— точка пересечения графика с осью ординат; (4)
б) при , но , т.е. при или , т.о.
и — точки пересечения графика с осью абсцисс. (5)
С учетом точек разрыва и найденных значений функции (по (1), (2), (3) и (4), (5)) получаем: при ; при ;
при .
6)
а) нет критических точек, где не существует, т.к. не имеет значения только при , но ;
б) при и ,
значит, и — критические точки, а
; .
7)
-6
-1 (0;x2) (x2;3)
- + + + + 0 — — — +
нет зн.
Нет зн.
выводы от до -6 до
Верт. асимптота
8) ;
y=x-4-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-12,57 -11,67 — -10,00 -9,33 -9,00 -10,00 — 0,00 -1,00 -0,67 0,00 0,80 1,67 2,57 3,50 4,44
9) см. 5).
10) .