Задачи Менеджмент машиностроительных предприятий

Вариант 4

4.1. Найдите оптимальное решение задачи распределения капиталовложений при условии, что суммарный объем инвестиций равен 8 млн. руб.
Проект Предприятие 1 Предприятие 2 Предприятие 3
C1 R1 C2 R2 C3 R3
1
2
3
4 3

Содержание
  1. 2
  2. 5
  3. 2
  4. 5
  5. 4+5 —
  6. 3+5 —
  7. 2
  8. 5

2

  • 5

5

  • 2
    4
    5
  • 4
    3
    8
  • 0
    2
    3
    6 0
    3
    5
    9
    Решение:

Совет директоров фирмы изучает предложения по наращиванию производственных мощностей на трех принадлежащих фирме предприятиях. Для расширения всех трех предприятий фирма выделяет средства в объеме 8 млн. руб. Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами суммарных затрат (C) и доходов (R), связанных с реализацией каждого из проектов. Соответствующие данные приведены в табл.1, в которую включены также проекты с нулевыми затратами. Это позволяет предусмотреть возможность отказаться от расширения какого-либо предприятия.

Таблица 1
Проект Предприятие 1 Предприятие 2 Предприятие 3
C1 R1 C2 R2 C3 R3
1
2
3
4 3

2

  • 5

5

  • 2
    4
    5
  • 4
    3
    8
  • 0
    2
    3
    6 0
    3
    5
    9

Цель фирмы состоит в получении максимального дохода от инвестиций.
В рассмотренном примере каждому из предприятий ставится в соответствие некоторый этап, поскольку требуется выбрать оптимальный проект для каждого предприятия. Известно, что этапы связаны между собой посредством ограничения на суммарный объем капиталовложений. При построении модели необходимо учесть эту связь таким образом, чтобы получить возможность по отдельности решать подзадачи, соответствующие каждому этапу, не нарушая при этом условия допустимости.
Введем следующие обозначения:
X1 – объем капиталовложений, распределенных на этапе 1.
X2 – объем капиталовложений, распределенных на этапах 1 и 2.
X3 – объем капиталовложений, распределенных на этапе 1,2,3.
Заметим, что конкретные значения X1 и X2 заранее не известны, однако эти значения лежат в интервале между 0 и 8. Так как затраты на реализацию каждого из проектов выражаются целыми числами, значения X1 и X2 могут быть равны 0,1,2,3,4,5,6,7,8. с другой стороны значение переменной X3 равно 8.
Пусть
• f1(X1) – максимальный доход, полученный на этапе 1, при заданном значении X1. • f1(X2) – максимальный доход, полученный на этапах 1 и 2, при заданном значении X2.
• f1*(X3) – максимальный доход, полученный на этапах 1,2,3, при заданном значении X3.
Тогда рекуррентное соотношение динамического программирования будет иметь следующий вид:

, , где максимум берется по допустимым проектам kj.
Так как , следовательно, , .
Откуда .
Приведем результаты поэтапных расчетов на основе рекуррентного соотношения для рассматриваемой задачи.
Этап 1. , , .

Оптимальное решение

2
3
4
5
6
7
8 —
5
5
5
5
5
5 5
5
5
5
5
5
5 5
5
5
5
5
5
5 2
2
2
2
2
2
2

Этап 2. , , .

Оптимальное решение

2
3
4
5
6
7
8 4
4
4+5
4+5
4+5
4+5

4+5 —

3
3
3+5
3+5

3+5 —


8
8
8+5
8+5 4
4
9
9
9
13
13 1
1
1
1
1
3
3

Этап 3. , , .

Оптимальное решение

8 0+13 3+9 5+9 9+4 14 3

Максимальный доход от инвестиций в объеме 8 млн. руб. составит 14 млн. руб. Оптимальное решение можно найти непосредственно из приведенных таблиц, используя соотношение . Причем сначала рассматривается таблица, полученная на этапе 3, затем на этапах 2 и 1. В результате получим следующие оптимальные наборы проектов для этапов 1,2 и 3 – [{1,1,3}, {2,1,3}].

Проект Предприятие 1 Предприятие 2 Предприятие 3
C1 R1 C2 R2 C3 R3
1
2
3
4 3

2

  • 5

5

  • 2
    4
    5
  • 4
    3
    8
  • 0
    2
    3
    6 0
    3
    5
    9

4.2. Решите задачу календарного планирования трудовых ресурсов при следующих данных:

Решение:
Предприниматель составляет план регулирования численности рабочих на каждую из пяти следующих недель. Он располагает сведениями о минимальном количестве рабочих, которое требуется для проведения работ на каждой неделе . Наем или увольнение, а также простой рабочих связаны с накладными расходами, величины которых известны.
Пусть

  1. Xj – количество рабочих имеющихся в наличии на j-й неделе;
  2. – величина убытков, связанных с тем, что Xj превышает заданное значение bj, ;
  3. – величина накладных расходов по найму новых рабочих.
    Необходимо определить, сколько рабочих следует нанимать или увольнять еженедельно, чтобы обеспечить минимум суммарных затрат для планируемого периода. Исходное количество рабочих к началу первой недели составляет .
    Обозначим через минимальную величину расходов, осуществленных в течение недель 1,2,…, j при заданном значении Xj.
    Тогда рекуррентное уравнение записывается в виде: .
    Определим границы для значений переменных Xj. Так как в нашей задаче уравнение не требует накладных расходов, то достаточно рассмотреть следующие ситуации:
    X1 = {8}, X2 = {4,5,6,7,8}, X3 = {7,8}, X4 = {8}, X5 = {2,3,4,5,6,7,8}.

Пусть .
Этап 1. ( ).

Оптимальное решение

8 3+2*2=9 7 2

Этап 2. ( ).

Оптимальное решение

4
5
6
7
8 0+1+24+7=16 11+1+23+7=15 12+1+22+7=14 13+1+21+7=13 14+7=11 16
15
14
13
11 -4
-3
-2
-1
0

Этап 3. ( ).

Оптимальное решение

7

8
0+3+2*3+16

11+3+24+16
0+3+22+15 11+3+23+15 0+3+21+14
11+3+22+14 0+0+13

11+3+21+13 0+1+21+11 11+0+11 13

12
0,1

0

Этап 4. ( ).

Оптимальное решение

8 0+3+2*1+13=18 0+0+12=12 12 0

Этап 5. ( ).

Оптимальное
решение

2
3
4
5
6
7
8 0+1+26+12=25 11+1+25+12=24 12+1+24+12=23 13+1+23+12=22 14+1+22+12=21 15+1+21+12=20 16+0+12=18 25
24
23
22
21
20
18 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0

Так как , то

Неделя bj Xj Решение
1
2
3
4
5 6
5
3
6
8 7
7
7
7
8 Нанять двух рабочих
Никого не нанимать и не увольнять
Никого не нанимать и не увольнять
Никого не нанимать и не увольнять Никого не нанимать и не увольнять

4.3. Решите задачу о замене оборудования при следующих данных:

Показатель Время, в течение которого
используется оборудование
0 1 2 3 4
Годовой выпуск продукции , млн. руб. 80 75 75 65 50
Ежегодные затраты на ремонт и содержание оборудования , млн. руб. 25 30 35 45 45

Затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, составляют С = 40 млн. руб., а заменяемое оборудование списывается. Составить такой план замены оборудования, при котором общая прибыль за рассматриваемый период (5 лет) – максимальная.
Решение:
Обозначим через – возраст оборудования в начале j-го года.
Тогда
Обозначим через – максимальную прибыль, полученную предприятием в течение j, j+1,…, 5 лет при заданном значении .
Тогда рекуррентном соотношение для обратной вычислительной системы запишется в следующем виде:


  1. для j = 1,2,3,4.

  2. Этап 5.
    1) ,
    ,
    следовательно, .
    2) ,
    ,
    следовательно, .
    3) ,
    ,
    следовательно, .
    4) ,
    ,
    следовательно, .

Возраст оборудования

1 45

2 40

3 20

4 15

Этап 4.

1) ,

следовательно, .
2) ,

следовательно, .
3) ,

следовательно, .

Возраст оборудования

1 85

2 60 ,

3 60

Этап 3.

1) ,

следовательно, .
2) ,
,
следовательно, .

Возраст оборудования

1 105

2 100

Этап 2.

,
следовательно, .
Возраст оборудования

1 145

Этап 1.
,
следовательно, . Таким образом, максимальная прибыль предприятия составит 200 млн. руб.

Оцените статью
Поделиться с друзьями
BazaDiplomov