Задачи Теория вероятности Вариант 1

Теория вероятности
Задача №1
В новогодней лотерее разыгрывается n призов. Всего в урне имеется N билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.
Исходные данные: n = 14, N = 65.

Решение:
Так как из всего вероятностного пространства N выигрышными являются n билетов, то вероятность того, что вытянутый билет окажется выигрышным можно определить по формуле: ,
Находим, что вероятность данного события (А) составит:
Р(А) = 14 / 65 = 0,215
Ответ: Р(А) = 0,215

Задача №2
В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что её любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.
Исходные данные: r = 43, a = 33.

Решение:
Обозначим событие, когда точка окажется внутри квадрата через A.
По геометрическому определению вероятностей искомая вероятность P(A) будет равна отношению площади квадрата к площади круга (поскольку квадрат целиком расположен в круге).
Найдем площади фигур:
Площадь круга: ;
Площадь квадрата
Тогда искомая вероятность указанного события будет равна:

Ответ:

Задача №3
Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны p1 и p2. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятности того, что при пожаре сработает только один датчик.
Исходные данные: p1 = 0.91, p2 = 0.86.

Решение:
Найдем вероятности и того, что соответствующие датчики не сработают:

Рассмотрим два противоположных (несовместных) события:

  • при пожаре сработает хотя бы один датчик;
  • при пожаре не сработает ни один из датчиков.
    Поскольку события и являются противоположными, поэтому: .
    Поскольку события и являются независимыми, то по теореме умножения независимых событий имеем: .
    Тогда искомая вероятность будет равна:
    .
    Рассмотрим событие, когда при пожаре сработает только один датчик. Обозначим его B. Поскольку оба датчика работают независимо друг от друга, то их одновременная работа запишется следующим образом: . Откуда получим: .
    Очевидно, что событие произойдет тогда, когда сработают оба датчика, событие мы уже рассматривали. Поэтому P( A ) + P( ) = = 1.
    Тогда искомая вероятность P( B ) = P( A ) – = 0.9874 – 0,91*0,86 = 0.2048
    Проверка:

Ответ: ,

Задача№4
В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5, 0.55, 0.7, 0.75 и P. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того; что была выбрана первая винтовка?
Исходные данные: P = 0.91.

Решение:
Рассмотрим событие, когда стрелок совершил попадание из случайно выбранной винтовки. Обозначим его A. Выбор любой из винтовок равновозможен, поэтому вероятность выбора каждой из них равна 0.2.
По формуле полной вероятности вероятность рассматриваемого события равна:

Рассмотрим событие, когда попадание произошло. Это событие обозначено у нас A. Условие, что была выбрана именно первая винтовка, является для этого события гипотезой. Обозначим ее . Вероятность выбора первой винтовки равна 0.2.
Фактически задача сводится к тому, чтобы найти условную вероятность P( B1| A ) для гипотезы при свершении события A. Для этого воспользуемся формулой Байеса:

Ответ: ,

Задача№5
Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину, равна p. Определить вероятность того что, сделав n бросков, он m раз попадет.
Исходные данные: n = 6, m = 4, p = 0.1.

Решение:
Данная задача являет собой пример о повторных независимых испытаниях. Для расчета искомой вероятности в данном случае лучше использовать формулу Бернулли:
,
где – вероятность промаха в каждом броске,
Ответ:

Задача №6
Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. Определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится: ровно 3 бракованных, не более 3-х бракованных.
Исходные данные: N = 5000, p = 0.001.

Решение:
Для решения таких задач используют приближенные формулы. Мы воспользуемся формулой Пуассона (так как p меньше 0.1):
, где для нашего случая ,
Соответственно вероятность того, что в данной партии будет ровно три бракованные детали, будет равна:
.
Найдем вероятность того, что в данной партии будет не более трех бракованных деталей. По теореме сложения несовместных событий будем иметь:
.
Ответ: ,

Задача №7
В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0.5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между и .
Исходные данные: n =2500 , = 1200, = 1250.

Решение:
Поскольку n существенно больше 15 для решения этой задачи можно использовать интегральную предельную теорему Лапласа, описываемую приближенной формулой:
, где ,
Для практического применения Лаплас ввел функцию , называемую функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
После подстановки интегральная формула Лапласа примет вид:
, где , , , ,
– вероятность не включения для каждой из ламп.
Функция Лапласа вычисляется с помощью таблиц.
Таким образом, искомая вероятность будет равна:
Подставляя в полученную формулу значения функции Лапласа, получим искомую вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено в указанном интервале:

Ответ: 0.4773

Задача №8

Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова, б) более двух вызовов.
Исходные данные: N = 54.

Решение:
Вероятность того, что конкретный звонок попадет в какую-либо минуту, равна:
.
Поскольку p < 0.1 используем формулу Пуассона для нахождения искомой вероятности:
, где для данной задачи – среднее количество вызовов в минуту, – искомое количество вызовов в минуту.
Таким образом, вероятность того, что за данную минуту станция получит ровно два вызова, будет равна:

Чтобы найти вероятность того, что за данную минуту станция получит более двух вызовов, определим сначала вероятность того, что за данную минуту станция получит не более двух вызовов:

Используя теорему о противоположных событиях, найдем вероятность того, что за данную минуту станция получит более двух вызовов:

Ответ: ,

Задача №9
Ошибка взвешивания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и среднеквадратическим отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.
Исходные данные: n =9, N = 9.

Решение:
Поскольку погрешности в измерениях подчинены нормальному закону распределения, воспользуемся формулой:
, где – математическое ожидание, – среднеквадратическое отклонение, – заданная точность.
Таким образом, вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 9 грамм, будет равно:

Ответ:

Задача №10
Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0.01?
Исходные данные: n =1600, m =100.

Решение:
Поскольку задачи определения брака (качества) подчинены нормальному закону распределения, воспользуемся для решения этой задачи следующей формулой:
, где = 0.95 (95%) — заданная надежность.
Тогда с учетом того, что , формула из предыдущей задачи запишется в следующем виде:

Сделаем подстановки: , .
Тогда формула примет вид:
Найдем :

По соответствующей таблице находим, что .
Найдем среднеквадратическое отклонение . Для этого найдем дисперсию . Дисперсия при нормальном законе распределения, согласно теореме Бернулли, когда , равна .
Вероятность того, что изделие окажется высшего сорта, будет равна: ,
Вероятность того, что изделие будет не высшего сорта, равна: .
Соответственно, дисперсия будет равна: .

Из уравнения переменной выразим N, получим:

Ответ: для того, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0.01 необходимо проверить не менее 2250 изделий.

Задача №11

В вариантах данной задачи известен закон распределения дискретной случайной величины .
Определить: а) математическое ожидание , б) дисперсию , в) вероятность попадания Х в интервал , т.е. . Г) построить график интегральной функции распределения .
Исходные данные: = 0, = 6.
X -4 0 1 3 6
P 0,3 0,1 0,1 0,1 0,4

Решение:
Заполним расчетную таблицу:

-4 0 1 3 6 Сумма

0,3 0,1 0,1 0,1 0,4 1

-1,2 0 0,1 0,3 2,4 1,6

4,8 0 0,1 0,9 14,4 20,2

Математическое ожидание: .

Дисперсию вычислим по формуле:

Составим интегральную функцию распределения:

  • вероятность того, что случайная величина примет значение из данного интервала.
    Ответ: , , .

Задача №12
Непрерывная случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с плотностью . Найти , , , .
Исходные данные: , .

Решение:
Функция плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид:
, где — математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение.
= , откуда а = –4, .
, ,
Найдем для нахождения интервала.
Для нахождения вероятности попадания в интервал используем формулу:

  • вероятность того, что случайная величина примет значение из данного интервала.
    Ответ: , , ,
Оцените статью
Поделиться с друзьями
BazaDiplomov