Задачи Теория вероятности Вариант 2

Теория вероятности

Задача №1
Всего в урне N билетов. Из них M выигрышных. Какова вероятность того, что первый вытянутый билет окажется выигрышным?
Исходные данные: N = 19, M = 10.

Решение:
Так как из всего вероятностного пространства N выигрышными являются M билетов, то вероятность того, что вытянутый билет окажется выигрышным (A) можно определить по формуле: ,
Находим, что вероятность данного события (А) составит:
Р(А) = 10 / 19 = 0,526
Ответ: Р(А) = 0,526

Задача №2
Биатлонист стреляет в мишень. Мишень – круг радиуса R см. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 1. Попадание в любую точку мишени равновероятно. Необходимо попасть в круг радиуса R1 см.
Исходные данные: R = 14, R1 = 10.

Решение:
Обозначим событие, когда точка окажется внутри круга с радиусом R1 через A.
По геометрическому определению вероятностей искомая вероятность P(A) будет равна отношению площади маленького круга к площади мишени (поскольку круг целиком расположен в мишени).
Найдем площади фигур:
Площадь мишени: ;
Площадь круга
Тогда искомая вероятность указанного события будет равна:

Ответ:

Задача №3
Имеется собрание сочинений из N томов некоего автора. Все N томов расставляются на книжной полке случайным образом. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2…, N, или N, N-1,…., 1?
Исходные данные: N = 4

Решение:
В том и в другом случае ответ будет одинаков, поэтому рассмотрим только случай расположения в порядке 1, 2, 3, 4. Том №1 на первом месте оказывается с вероятностью 1/4; при условии, что первый том занял место №1, второй том занимает место №2 с вероятностью 1/3; аналогично при условии, что тома №1 и №2 заняли соответственно места №1 и №2, третий том занимает место №3 с вероятностью 1/2 и т.д.
Обозначим событие, когда тома будут расположены по порядку как A.
Тогда, по теореме о произведении вероятностей независимых событий, тома располагаются в порядке 1, 2, 3, 4 с вероятностью: P(A) = ¼ * 1/3 * ½ * 1 = 1/24

Ответ: P(A) = 1/24

Задача №4

Имеется собрание сочинений из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из N томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2…, М, или М, М-1,…., 1?
Исходные данные: N = 14, M = 4.

Решение:
Найдем вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, 3, 4.
Первой поставленной книгой должен быть только первый том, т.е. общее число исходов – 14, а число благоприятных исходов – 1. Следовательно вероятность того, что первый том окажется на первом месте равна 1/14.
Аналогично получим, что вероятность того, что второй том будет стоять на втором месте равна 1/13, что третий том будет стоять на третьем месте – 1/12, что четвертый том будет стоять на четвертом месте – 1/11.
Обозначим событие, когда тома будут расположены по порядку как A. Вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, 3, 4 будет равна:
Р(А) = 1/14 * 1/13 * 1/12 * 1/11 = 1/24024
Аналогично найдем вероятность того, что тома расположатся в порядке 4,3,2 1, обозначим ее как В.
Проведя аналогичные рассуждения получим, что P(А)=P(В).

Ответ: P(A) = 1/24024, P(В) = 1/24024

Задача №5

Имеется собрание сочинений из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из N томов случайным образом и расставляют на верхней полке. Какова вероятность того, что для размещения на верхней полке будут выбраны тома 1,2, …, М?
Исходные данные: N = 14, M = 4.

Решение:
Вероятность того, что первый наугад выбранный том попадет в число нужных равна 4/14. Для второго тома эта вероятность равна 3/13, для третьего 2/12, для четвертого 1/11.
Обозначим событие, когда для размещения на верхней полке будут выбраны тома 1, 2, 3, 4 как A.
В итоге получим: Р(А) = 4/14 * 3/13 * 2/12 * 1/11 = 1/1001

Ответ: Р(А) = 1/1001

Задача №6

Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности попадания стрелков в мишень равны p1, p2 и p3. Какова вероятность того, что:
а) все три выстрела окажутся успешными;
б) хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным;
в) точно один выстрел окажется успешным?
Исходные данные: p1 = 0,9, p2 = 0,8, p3 = 0,7.

Решение:
а) Обозначим событие, когда все три выстрела окажутся успешными как A.
По теореме о произведении вероятностей независимых событий искомая вероятность Р(А) = 0,90,80,7 = 0,504
б) Заметим, что если первый выстрел оказывается успешным с вероятностью 0,9, то этот выстрел оказывается неуспешным с вероятностью (1–0,9). Событий «хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным» предполагает, что точно какой-нибудь один из трех выстрелов успешен (два остальных неуспешны), либо только каких-нибудь два из трех выстрелов успешны (один неуспешен), либо все три успешны.
Обозначим событие, когда хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным как В.
Тогда, по теореме о сумме независимых событий искомая вероятность равна
Р(В) = [0,9•(1-0,8)•(1-0,7)+ (1-0,9)•0,8•(1-0,7)+ (1-0,9)•(1-0,8)•0,7] + [0,9•0,8•(1-0,7)+ (1-0,9)•0,8•0,7+ +0,9•(1-0,8)•0,7] + [0,9•0,8•0,7] = 0,092 + 0,398 + 0,504 = 0,994.
в) Обозначим событие, когда точно один выстрел окажется успешным как С.
Тогда искомая вероятность равна
Р(С) = 0,9•(1-0,8)•(1-0,7)+ (1-0,9)•0,8•(1-0,7)+ (1-0,9)•(1-0,8)•0,7= 0,092.

Ответ: Р(А) = 0,504, Р(В) = 0,994, Р(С) = 0,092

Задача №7

Экзамен сдавали студенты трех групп, причем в i-й группе учатся m % студентов (i = 1, 2, 3). Вероятность сдать экзамен на положительную оценку для студента i-й группы n %. Наудачу выбранный студент экзамен не сдал. Определить вероятность того, что студент из j-й группы.
Исходные данные: m1 = 40, m2 = 20, m3 = 40, n1 = 90, n2 = 90, n3 = 80, j = 1.

Решение:

Пусть А – событие состоящее в том, что произвольно выбранный студент не сдал экзамен.
Всего было студентов N=40+20+40=100. Вероятность принадлежности студента к каждой из групп P(B1)=0,4 ; P(B2)=0,2 ; P(B3)=0,4.

Вычислим вероятности того, что студент не сдавший экзамен принадлежит к той или иной из 3-х групп по формуле Бейеса , где в случае нашей задачи PB1(A)=0,1 ; PB2(A)=0,1; PB3(A)=0,2, так как ,
учитывая

Тогда :

Ответ: Вероятность того, что студент из 1-й группы равна 0,25

Задача №8

Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:
m<=k2

Исходные данные:
N = 100, p = 0.3, k2 = 40.

Решение:

Поскольку n существенно больше 15 для решения этой задачи можно использовать интегральную предельную теорему Лапласа, описываемую приближенной формулой:
, где ,
Для практического применения Лаплас ввел функцию , называемую функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
После подстановки интегральная формула Лапласа примет вид:
, где , , , ,
– вероятность не наступления события.
Функция Лапласа вычисляется с помощью таблиц.
Таким образом, искомая вероятность будет равна:

Подставляя в полученную формулу значения функции Лапласа, получим искомую вероятность того, m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:
m<=k2

Ответ: 0,4854

Задача №9

Вероятность детали быть бракованной равна p. Произведено 1000 деталей. Какова вероятность того, что в этой партии ровно 2 бракованных детали? более 2-х?
Исходные данные: p = 0.001.

Решение:
Для решения таких задач используют приближенные формулы. Мы воспользуемся формулой Пуассона (так как p меньше 0.1):
, где для нашего случая ,
Соответственно вероятность того, что в данной партии будет ровно две бракованные детали, будет равна:
.
Найдем вероятность того, что в данной партии будет более двух бракованных деталей. По теореме сложения несовместных событий будем иметь:
.
так как получаем

Ответ: ,

Задача №11

Футболист бьет N раз пенальти. Вероятность забить при одном ударе равна p.
Какова вероятность того, что будет забито ровно три мяча? более двух мячей?
Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX.
Исходные данные: p = 0.9, N=6.

Решение:

Для расчета искомой вероятности в данном случае лучше использовать формулу Бернулли:
,
где – вероятность промаха в каждом ударе,

Найдем вероятность того, что будет забито более двух мячей. По теореме сложения несовместных событий будем иметь:
.
так как получаем

Для нахождения математического ожидания MX и дисперсии DX заполним расчетную таблицу:

0 1 2 3 4 5 6 Сумма

0,000001 0,000054 0,00122 0,01458 0,0984 0,3543 0,5314 1

0 0,0001 0,0024 0,0437 0,3936 1,7715 3,1884 5,3997

0 0,0001 0,0049 0,1312 1,5744 8,8575 19,1304 29,6984

Математическое ожидание: .

Дисперсию вычислим по формуле:

Ответ: , , ,

Оцените статью
Поделиться с друзьями
BazaDiplomov